इस आर्टिकल में हम गोले के आयतन के सूत्र (Formula for volume of a sphere) के बारे में अध्ययन करेंगे।

गोला का आयतन उसकी क्षमता (capacity) को बताता है। गोला का आकार गोल और 3-D होता है। इसके तीन अक्ष होते हैं x- अक्ष , y- अक्ष और z- अक्ष। सभी चीजें जैसे गेंद और फुटबॉल एक गोला का उदाहरण है जिसका आयतन होता है।

इसका आयतन गोले के व्यास (Diameter of sphere) की त्रिज्या (radius) पर निर्भर करता है क्योंकि अगर इस का अनुप्रस्थ काट (cross-section) ले तो यह एक वृत्त होगा। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface area and volume) उसके बाहरी सतह का क्षेत्रफल होता है। गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए जिसकी त्रिज्या “r” है उसका फार्मूला ―

 गोले का आयतन = 4/3 πr³

तो आइए इसके बारे में और भी बेहतर तरीके से समझते हैं।

Volume of a Sphere – गोले का आयतन

गोला एक 3-D गोल ठोस आकार  का होता है जिसकी सतह कि हर एक बिंदु की दूरी गोले के केंद्र तक बराबर होती है। जो निश्चित दूरी है उसे ही गोले की त्रिज्या कहा जाता है और गोले का निश्चित बिंदु गोले का केंद्र बिंदु कहलाता है।

आर्कमिडीज सिद्धान्त हमें गोले का आयतन (Volume of a sphere) बताने में मदद करता है। यह सिद्धांत कहता है कि यदि कोई वस्तु किसी भरे पानी के कंटेनर में है तो उस वस्तु का आयतन ज्ञात किया जा सकता है। क्योंकि जितना पानी उस कंटेनर से बहेगा उसके आयतन के बराबर उस वस्तु का आयतन होगा।

Formula for volume of a sphere – गोले के आयतन का फार्मूला

किसी भी गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए हमें उसका फार्मूला पता होना चाहिए।

गोले के आयतन का फार्मूला ―

यहाँ “r” गोले की त्रिज्या है।

कई जगह पर यह भी फार्मूला इस्तेमाल किया जाता है।

V = 4/3 π (d/2)³

यहाँ “d” गोले का व्यास है।

दोनों समान ही है बस केवल ऊपर त्रिज्या का इस्तेमाल हो रहा है और नीचे वाले में व्यास का।

गोले के आयतन के उदहारण – Example of volume of a sphere

उदहारण : गोले का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी त्रिज्या 5 cm है।

उत्तर : त्रिज्या = 5 cm

गोले का आयतन = 4/3 π r³

 V = 4/3 × 22/7 × (5)³

     = 88/21 × 125

     = 11000/21

     = 523.8 cm³

V = 523.8 cm³

उदहारण : गोले का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी व्यास 12 cm है।

उत्तर : त्रिज्या = 6 cm

गोले का आयतन = 4/3 πr³

V = 4/3 πr³

    = 4/3 × 22/7 × (6)³

    = 88/21 × 216

    = 19008/21

    = 904.15 cm³

V = 904.15 cm³

उदहारण : किसी गोल गेंद का आयतन 729 cm³ है। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिये।

उत्तर : गोले का आयतन = 729 cm³

V = 4/3 π R³

729 = 4/3 × 22/7 × R³

729 = 88/21 × R³

R³ = (729 × 21)/88

   = 15309/88

   = 173.9 cm

R = ³√173.9

   = 5.58 cm

उदहारण : किसी बास्केटबॉल का आयतन 81 cm³ है। बास्केटबॉल का व्यास ज्ञात कीजिये।

उत्तर : गोले का आयतन = 81 cm³

V = 4/3 π R³

81 = 4/3 × 22/7 × R³

81 = 88/21 × R³

R³ = (81 × 21)/88

   = 1701/88

   = 19.3 cm

R = ³√19.3

   = 2.68 cm

व्यास = 2 × त्रिज्या

        = 2 × R

        = 2 × 2.68

        = 5.36 cm

D = 5.36 cm

पूछे जाने वाले प्रश्न – FAQ for Volume of a sphere

प्रश्न : गोले के आयतन का फॉर्मूला क्या होता है ?

उत्तर : गोले के आयतन ज्ञात करने का फॉर्मूला 4/3 π R³ होता है और यह R गोले की त्रिज्या होती है।

प्रश्न : गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है ?

उत्तर : किसी भी गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल –

S = 4πR²

यहाँ R गोले की त्रिज्या है।

प्रश्न : गोले का आयतन कैसे निकालते है ?

उत्तर : गोले का आयतन निकालने के लिए फॉर्मूला 4/3 πR³ का इस्तेमाल किया जाता हैं। यहाँ R गोले की त्रिज्या है।

प्रश्न : गोले का आयतन और बेलन का आयतन का अनुपात क्या होगा ?

उत्तर : किसी भी गोले का आयतन और बेलन का आयतन का अनुपात 2:3 होगा यदि गोले की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या औऱ गोले का व्यास बेलन की ऊँचाई के बराबर होगा।

प्रश्न : यदि किसी गोले का व्यास 9 cm है तो उसका आयतन कितना होगा ?

उत्तर : गोले का व्यास = 9 cm

तो ,

गोले की त्रिज्या = 9/2

                     = 4.5 cm

फिर ,

गोले का आयतन = 4/3 πr³

                        = 4/3 × 22/7 × (4.5)³

                        = 88/21 × (91.125)

                        = 8019/21

                        = 381.85 cm³

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