इस आर्टिकल में समांतर चतुर्भुज के बारे में अध्ययन करेंगे। समानांतर चतुर्भुज (parallelogram in hindi) एक 2-D ज्यामिति आकार है जिसकी भुजाएं आपस में समांतर होती है। समांतर चतुर्भुज बहुभुज का एक प्रकार है जिसकी चार भुजाएं होती है और समांतर भुजाएं की लंबाई बराबर होती है। समांतर चतुर्भुज के आंतरिक विपरीत कोण (internal opposite angle) बराबर होते हैं। समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

एक 3-D ज्यामिति आकार जिसके मुख्य चेहरे का आकार समांतर चतुर्भुज के जैसा होता है वह समांतर खात (parallelpiped) कहलाता है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊंचाई पर निर्भर करता है और समांतर चतुर्भुज का परिमाप उसके चारों भुजाओं पर निर्भर करता है।

तो आइए समांतर चतुर्भुज के बारे में और अच्छे से जानते हैं।

समांतर चतुर्भुज क्या होता है – What is parallelogram in hindi

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज (Quadrilateral) होता है जिसके समांतर भुजाओं के दो जोड़े होते हैं। समांतर चतुर्भुज के विपरीत भुजाएं (opposite sides) बराबर होती हैं और विपरीत कोण भी बराबर बराबर होते हैं। समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों  का योग 180° होता है। इसके सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है।

वर्ग और आयात के गुण समांतर चतुर्भुज के समान होते हैं। यदि समांतर चतुर्भुज के सभी भुजाएं बराबर और सर्वांगसम (congurent) हो तो वह विषमकोण (rhombus) कहलाता है। यदि किसी चतुर्भुज की एक समांतर भुजा और बाकी के दो गैर-समांतर भुजा है तो वह समलंब कहलाता है।

दिए गए आकार में , PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें PQ||RS और PS = QR है ,

और , PQ = RS

         PS = QR

        ∠P = ∠R

        ∠Q = ∠S

तो ,

        ∠P + ∠S = 180°

        ∠R + ∠Q = 180°

समांतर चतुर्भुज के प्रकार – Types of parallelogram in hindi

मुख्य रूप से समांतर चतुर्भुज के चार प्रकार होते हैं। समांतर चतुर्भुज को वर्गित उसके कोण और भुजा के आधार पर किया गया है।

1) समांतर चतुर्भुज में , यदि सभी भुजाएं बराबर है तो वह विषमकोण कहलाता है। विषमकोण के सभी गुण समांतर चतुर्भुज के समान होते हैं।

2) बाकी दो प्रकार है ―

     • आयात (rectangle)

     • वर्ग (square)

समांतर चतुर्भुज के गुण – Properties of parallelogram in hindi

यदि समांतर चतुर्भुज के विपरीत भुजाएं समांतर है तो वह चतुर्भुज , समांतर चतुर्भुज कहलाता है।

समांतर चतुर्भुज के गुण ―

1) विपरीत भुजाएं समांतर और सार्वगासम होते हैं।

2) विपरीत कोण सार्वगासम होते हैं।

3) आसन्न कोण का योग 180° होता है।

4) यदि कोई भी एक कोण समकोण होता है तो सभी कोण समकोण होंगे।

5) दोनों विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

6) हर एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो त्रिभुज में भाग करते हैं।

समांतर चतुर्भुज का नियम – Parallelogram law in hindi

समांतर चतुर्भुज का नियम यह कहता है कि समांतर चतुर्भुज के सभी भुजाओं का वर्गमूल का योग , उसके विकर्ण (diagonal) के वर्गमूल के योग के बराबर होता है।

मान लीजिए PQRS एक समांतर चतुर्भुज है ―

तो ,

PQ² + QR² + RS² + PS² = PR² + QS²

समांतर चतुर्भुज का फार्मूला – Parallelogram formula in hindi

समांतर चतुर्भुज के फार्मूले में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल और परिमाप (perimeter) का फार्मूला को जानेंगे। इस फार्मूला को इस्तेमाल करके आसानी से प्रश्नों को हल कर सकते हैं।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल – Area of parallelogram in hindi

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वह स्थान होता है जो आकार की रेखा द्वारा घिरा हुआ है।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल ―

A = Base × Height

    = आधार × ऊंचाई

यदि कोण द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करना है तो ―

A = ab SinA = ba SinB

यहाँ “a” तिरछी ऊंचाई और “b” आधार है।

समांतर चतुर्भुज का परिमाप – Perimeter of parallelogram in hindi

किसी भी आकार का परिमाप उस आकार की रेखा की कुल दूरी होती है। उसी प्रकार समांतर चतुर्भुज का परिमाप , आकार द्वारा रेखा की कुल दूरी होती है। समांतर चतुर्भुज का परिमाप जानने के लिए हमें उसकी लंबाई , चौड़ाई जाननी होगी क्योंकि समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएं बराबर होती हैं। तो समांतर चतुर्भुज की परिमाप का फार्मूला ―

P = 2(a + b)

यहां a , b समांतर चतुर्भुज की लंबाई है।

समांतर चतुर्भुज और विषमकोण में अंतर – Difference between parallelogram and rhombus in hindi

समांतर चतुर्भुज के उदहारण – Examples of parallelogram

उदहारण : समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। यदि समांतर चतुर्भुज का आधार और ऊंचाई 10cm और 12cm है।

उत्तर : दिया हुआ ,

आधार (B) = 10cm

ऊंचाई (H) = 12cm

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई

= B × H

= 10 × 12

= 120cm

इसलिए , समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 120 cm² होगा।

उदहारण : यदि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 48 cm² है और ऊंचाई 8 cm है तो समांतर चतुर्भुज का आधार ज्ञात कीजिये।

उत्तर : दिया हुआ ,

क्षेत्रफल = 48

ऊँचाई = 8 cm

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई

= B × H

48 = 8 × H

H = 48/8

    = 6

इसलिए , समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई 6 cm होगा।

उदहारण : यदि समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के लंबाई 18 cm , 12 cm है और दो भुजाओं के बीच का कोण 90° दिया है तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

उत्तर : दिया हुआ , 

पहली भुजा (a) = 18 cm

दूसरी भुजा (b)  = 12 cm

कोण (θ) = 90°

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ab Sinθ

= 18 × 12 × Sin90°

= 216 × 1

= 216

इसलिए , समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 216 cm² होगा।

पूछे जाने वाले प्रश्न – FAQ for parallelogram in hindi

प्रश्न : क्या वर्ग एक समांतर चतुर्भुज होगा ?

उत्तर : वर्ग को समांतर चतुर्भुज कह सकते है क्योंकि वर्ग के विपरीत भुजाएं आपस मे समांतर होती है और विकर्ण द्विविभाजक है।

प्रश्न : क्या एक आयत समांतर चतुर्भुज होगा ?

उत्तर : आयत एक समांतर चतुर्भुज होगा क्योंकि आयत समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों का पालन करता है जैसे विपरीत भुजाएं समांतर और विकर्ण द्विविभाजक होते हैं।

प्रश्न : समांतर चतुर्भुज क्या होता है ?

उत्तर : समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएं समांतर और बराबर होती है। इसके विपरीत आंतरिक कोण बराबर होते है।

प्रश्न : समांतर चतुर्भुज के उदहारण क्या होंगे ?

उत्तर : समांतर चतुर्भज के विपरीत भुजाएं समांतर और सर्वांगसम होती है। इसके विपरीत कोण भी सर्वांगसम होते है। यह सभी गुणों का पालन करने वाले आकार ―

• आयत

• वर्ग

• विषमकोण

प्रश्न : समांतर चतुर्भुज का आकार क्या होता है ?

उत्तर : समांतर चतुर्भुज एक 2-D आकार है जिसकी चार भुजाएं होती है और दो समांतर भुजा के जोड़े भी होते है।

प्रश्न : समांतर चतुर्भुज की चार महत्वपूर्ण गुण कौन से है ?

उत्तर : समांतर चतुर्भुज की चार महत्वपूर्ण गुण :

• विपरीत भुजाएं समांतर और सर्वांगसम होते है।

• विपरीत कोण सर्वांगसम होते है।

• विकर्ण एक दूसरे को द्विविभाजक करते है।

• निरंतर कोण , पूरक कोण होते है।

प्रश्न : समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल और परिमाप क्या होता है ?

उत्तर : समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल का फार्मूला = आधार × ऊंचाई

समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2(a + b)

यहाँ a और b समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं।

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